这是一个每个人都能解决的数学问题:1减1等于多少?零。到目前为止一切顺利。如果再加一个1，总和变大，但如果再减一个1，又回到0。比如说，我们一直这样做:

　　1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 +…

　　结果的总和是多少?这个问题看起来很简单，甚至很愚蠢，但它却困扰着18世纪一些最伟大的数学家。悖论围绕着这个问题，因为关于总和的多个看似合理的论点得出了截然不同的结论。第一个深入研究它的人认为它解释了上帝是如何创造宇宙的。用现代术语来说，它的解决说明数学是一项比人们有时所认为的更人性化的事业。

　　猜一下你认为无限和等于什么。我会给你多个选择:

　　C. 1 / 2 D.它不等于任何东西

　　0的参数很自然地包含了暗示性的括号:

　　(1 - 1) +(1 - 1) +(1 - 1) +…

　　回想一下，在数学中，运算顺序决定了我们先求括号内的值，再求括号外的值。每个(1 - 1)都约掉为0，所以上面的结果是0 + 0 + 0 +…，显然等于零。

　　但是，稍微移动括号就会产生不同的结果。不是把前两项和后两项配对，以此类推，如果我们把第一个1放在一边，那么第二项和第三项也会约掉，第四项和第五项也会约掉

　　1 +(-1 + 1) +(-1 + 1) +(-1 + 1) +…

　　同样，所有括号加起来都是0，但我们在开头有一个额外的+ 1，这表明整个表达式和为1。

　　1703年，意大利僧侣和数学家路易吉·圭多·格兰迪首次研究了数列(无穷多个数字的和)。这个级数现在是以格兰迪的名字命名的，他观察到，仅仅通过移动括号，他就可以使这个级数的和等于0或1。根据数学历史学家乔治·巴格尼(Giorgio Bagni)的说法，这种算术上的不一致对格兰迪来说具有神学意义，他认为这表明从无到有的创造是“完全可信的”。

　　级数的总和为0和1似乎有些矛盾，但选项C(1 / 2)无疑也同样令人不安。无穷多个整数的和怎么会得到一个分数呢?然而最终，格兰迪和他之后许多杰出的18世纪数学家都认为答案是1 / 2。格兰迪用一个比喻来证明这一点:想象一下，两兄弟从他们的父亲那里继承了一颗宝石，每隔一年把它放在自己的博物馆里。如果这种将宝石传递给后代的传统继续下去，那么这两个家族将各自拥有宝石的一半所有权。

　　作为证明，我不建议你在下次数学考试中加入这个宝石故事。著名数学家戈特弗里德·威廉·莱布尼茨同意格兰迪的结论，但他试图用概率推理更直接地支持这一结论。莱布尼茨认为，如果你在一个随机的点停止对级数求和，那么到那个点的和将是0或1的概率是相等的，所以将它们平均为1 / 2是有意义的。莱布尼茨认为这个结果是正确的，但他承认他的论证更多的是“形而上的而不是数学的”。莱昂哈德·欧拉用了更复杂的方法来论证1/2，并在他1760年的论文《论发散级数》(De Seriebus divergentibus)中用一段相当防御性的段落来反驳那些持不同意见的人，他在文中断言:“毫无疑问，事实上级数1 - 1 + 1 - 1 + 1 + 1 - 1 +等和分数1/2是等量的，并且总是允许用一个代替另一个而不会出错。”所以很多聪明人都强烈支持选项C。

　　像这样的无穷级数让思想家们感到困惑，至少可以追溯到古希腊的芝诺·埃利亚的运动悖论。在一个著名的例子中，芝诺观察到，要走一条小路，必须先走小路的一半，然后走剩余路程的一半(小路总长度的四分之一)，再走剩余路程的一半(?)，以此类推。一个人可以一直细分下去，这意味着每次我们走一条路时，我们都在有限的时间内完成了无数的行动——这是一个悖论。

　　大约2400年后，当哲学家们仍在争论芝诺悖论的形而上学时，数学家们确实在解决这些悖论和格兰迪级数之谜方面取得了实质性的飞跃。从微积分的基础中出现了关于无穷级数和有限值的明确定义。要找到答案，首先要看部分和——将前两项相加，然后是前三项，然后是前四项，依此类推。如果这些中间和继续越来越接近一个固定值，那么我们说这个级数“收敛”到那个值。让我们把它应用到芝诺悖论的级数中，它是一条路径的一半加一条路径的四分之一加一条路径的八分之一，以此类推

　　?+?+?+ 1/16 +…

　　前两项和为0.75，前三项和为0.875，前四项和为0.9375。如果对前10项求和，得到0.9990234375。部分和越来越接近1，所以级数收敛于1。虽然我们可以把一条路径想象成无限的距离，但微积分证实，它最终仍然是一条路径。

　　格兰迪级数的部分和在0和1之间振荡，从不指向一个单一的值。因此，现代数学家会选择选项D(格兰迪级数不等于任何东西)。

　　格兰迪系列的解决方案提出了一个社会学问题。为什么数学界接受部分和方法，而不接受莱布尼茨的概率论证或其他无穷级数求和的定义?虽然它们看起来很像，闻起来也很像，但无穷级数的求和和加法是不一样的。举个明显的例子，当你移动括号时，加法不会改变，例如1 +(2 + 3)=(1 + 2)+ 3，但包括格兰迪级数在内的许多级数都会改变。为了方便，数学家从加法中借用了“求和”和“等于”这样的词来讨论级数，但实际上，当他们说芝诺级数“和为1”或“等于1”时，他们真正的意思是部分和收敛于1，不多也不少。

　　收敛的部分和定义就是:人类选择的定义。这并不是武断的。数学社区更喜欢这个定义，而不是其他选择，这是有充分理由的。它减轻了困扰早期研究无穷和的数学家的许多悖论，并且保留了有限加法所具有的许多优良性质。但其他关于融合的定义也有应用。例如，Cesàro求和方法不是问部分和接近多少，而是取前两个部分和的平均值，然后是前三个部分和，然后是前四个部分和，以此类推，然后问这些平均值接近多少。如果你把这种调整的方法应用到像芝诺级数这样的收敛级数它总是会给你相同的答案。然而，当应用于在标准定义下不收敛的级数时，它有时会给出不同的答案。特别地，格兰迪级数的Cesàro和为1 / 2。

　　数学文献中还出现了许多其他的求和方法。即使他们有时对同一序列给出不同的结果，如果人们清楚地传达了他们使用的定义，这也不构成矛盾。在现实中，我们不能把无限的东西相加，所以求和方法只是提供给无穷级数赋值的原则方法。部分和定义将理所当然的状态作为默认值，但在处理在部分和视图下不收敛的级数时，它偶尔会有其他选择。

　　奇怪的是，在大多数替代方法下，格兰迪级数和为1 / 2。因此，对于我们开始的问题，一个通俗的回答可能是:格兰迪级数不等于任何东西，但如果它等于1 / 2。