正在进行的测量介子氢的超精细跃迁的实验努力促使对质子结构效应的准确评估。在超精细分裂(hfs)中的\(\alpha \)阶，即\(O(\alpha ^5)\)，这些效应通常以数据驱动的方式进行评估，使用关于质子电磁形状因子和自旋结构函数的经验信息。在这里，我们基于重子手性微扰理论(B\(\chi \)PT)进行了第一次计算。在第一阶，它提供了氢(H)和介子氢(\(\mu \)H)中质子极化效应的预测。我们发现，在不确定性范围内，在B\(\chi \)PT展开中，各种贡献之间存在很大的消去，导致在第一阶极化率效应为零。这一结果与目前数据驱动的评价存在重大分歧。如果使用众所周知的实验中H中的1S hfs或H中的2S hfs，则较小的极化效应意味着更小的Zemach半径\(R_ extrm{Z}\)。我们分别获得\ (R_ \ textrm {Z} (\ textrm {H})=1.010(9) \)调频,\ (R_ \ textrm {Z}(μ\ \ textrm {H})=1.040(33) \)调频。在\(O(\alpha ^5)\)处的总质子结构效应与先前的评价一致;极化率的差异被较小的泽马赫半径所补偿。\(\mu ext {H})中1S hfs的推荐值为\(182.640(18)\， extrm{meV}.\)
通过兰姆位移测量，μ子-原子光谱已经成功地以前所未有的精度确定了质子、氘核、负离子和α粒子的电荷半径[1,2,3]。它还具有对从头算核理论和束缚态QED的冲击试验的潜力[4]。从测量介子氢(H)的2S超精细分裂(hfs)中提取了质子泽马赫半径[5]，其不确定度为:
（1)
参考文献[6]中的理论预测依赖于对质子极化率贡献的数据驱动评估[7]:
（2）
目前有几个合作项目正在准备以ppm的精度测量H中的基态(1S) hfs: CREMA[8]、FAMU[9,10]和J-PARC[11](参见参考文献[12]以比较不同的实验方法)。这些未来的测量有可能以低于百分之一的不确定性提取泽马赫半径，从而限制质子的磁性。
对H中的1S hfs进行精确的理论预测对于实验活动的成功至关重要。首先，缩小频率搜索范围，考虑到PSI, RIKEN-RAL和J-PARC合作的有限波束时间，这一点很重要。其次，对于结果的解释。我们可以根据理论预测的质子极化效应在h1s hfs中提取Zemach半径，反之亦然，在输入Zemach半径的情况下提取质子极化效应。此外，可以结合对H和H中1S hfs的精确测量，利用参考文献[13]中解释的辐射修正，解开泽马赫半径和极化效应的纠缠，并将其经验值与理论期望进行比较。
理论预测中最大的不确定性来自于通过双光子交换(TPE)进入的质子结构效应。它们包含上述的泽马赫半径和极化效应。目前，它们是在“数据驱动”的分散方法中评估的[14,15,16]。虽然色散方法本身是严格的，但它需要足够的实验数据来绘制质子自旋结构函数以及Bjorken变量x和光子虚性的完整函数。这一直是杰斐逊实验室一个专门的“自旋物理项目”的目标[17,18,19,20,21]，该项目最近扩展了以前稀缺的数据[22,23]。
在这项工作中，我们使用了一种完全不同的方法——手性摄动理论(PT)[24,25,26]，该理论已经成功地用于预测H Lamb位移中的质子极化效应[27]。确切地说，我们是在重子手性微扰理论(BPT)的框架下工作的——重子扇区中明显的洛伦兹不变的手性微扰公式[26,28,29](另见[30,31])。我们发现，在高通量中，对极化效应的前阶(LO) BPT预测实际上正在消失，因此，与数据驱动的评估存在实质性分歧。
本文组织如下。在第2节中，我们讨论了正激TPE，特别是hfs中的极化效应。在式(12)中引入了一种新的形式，其中将质子的纵-横和螺旋-差光吸收截面的贡献分为和。这将表明，这种分解有利于色散，以及有效场论(EFT)计算，因为它提供了一个更清晰的不确定性。在第3节中，我们给出了H和H的hfs中极化效应的LO BPT预测，并详细讨论了不确定性估计。在第4节中，我们将我们的结果与数据驱动色散和重子有效场理论(HB EFT)计算结果进行了比较。在第5节中，根据我们对极化效应的预测，从H和H光谱中提取了Zemach半径。在第6节中，我们将根据即将进行的实验讨论hfs中的TPE效应。对1S H hfs的理论预测的全部细节收集在附录c中。最后，我们给出了展望和结论。
(介子-)氢的hfs受到QED-、弱相互作用和强相互作用效应的贡献:
（3）
其中贡献的第一阶由费米能量给出:
（4）
与精细结构常数，Z为原子核的电荷(以下为质子)，m, m为轻子和质子的质量，质子的异常磁矩，以及反玻尔半径，与减少的质量。强相互作用效应是由质子的复合结构引起的。它们开始进入，例如参见文献[14]，在那里它们被分成泽马克半径、反冲力和极化率贡献:
（5）
这都可以归因于图1所示的正向TPE。关于H中的Lamb位移、精细和超精细结构，包括质子结构依赖效应的第一个全面的理论总结，我们参考文献[32]。泽马赫和反冲项(和)是质子处于中间态时的弹性贡献，见图1a。图1b中的图包含由“blob”表示的激发态(-等压等)。它产生极化效应()，在本工作中需要进行评估。
图1
正运动学中的双光子交换图:弹性贡献B极化率贡献。水平线对应于轻子和质子(粗体)，其中“斑点”代表所有可能的激发。交叉的图表没有画出来
正向TPE对hfs的贡献可以通过自旋相关的正向双虚康普顿散射(VVCS)振幅来表示，参见公式(A2)。后者可以与质子结构函数和色散方法有关，参见式。(A12)和(A11)。在附录A中可以找到TPE对hfs贡献的著名形式主义的完整推导。
最大的TPE效应是由于Zemach半径的贡献:
（6）
后坐力的贡献要小一个数量级[7]，本文将不考虑。最近在参考文献[33]中进行了更新。因此，hfs最适合精确提取Zemach半径，定义为对电和磁Sachs形状因子和[32]的积分:
（7）
这是光子虚性。同样地，我们可以写:
（8）
其中，电、磁的线性半径定义为:
(9)
与归一化的电或磁Sachs形因子的虚部，。从方程中可以看出。(7)和(8)，测量泽马赫半径可以得到质子的磁性。
质子自旋结构函数和的经验信息以及泡利形状因子的函数和比约肯变量(其中为实验室框架中的光子能量)的经验信息完全约束了hfs中的极化效应。这与Lamb移位相反，Lamb移位需要减法函数[34]的知识。脚注1:脚注2
(10a) (10b) (10c)
具有非弹性阈值，，，，，和广义Gerasimov-Drell-Hearn (GDH)积分:
（11）
这里是极化率部分。对于上述方程中泡利形状因子的来源，请参见附录A中的讨论。
我们将在3.2节中说明，不分解为和，而是方便地分解为纵横截面和螺旋差截面的贡献和:
(12)
这里我们定义:
(12b) (12c) (12d)
或者等价地，根据VVCS振幅，我们可以写:
13 (13) (b)
这里，表示振幅的非玻恩部分。本工作中BPT计算的一个优点是可以直接计算非玻恩振幅，而不需要通过色散形式来构造。此外，在我们目前的计算顺序中，在BPT功率计数中，没有对弹性形状因素的贡献，因此，在式(11)中仅由极化率部分给出。
假设BPT是一个足够的低能核子结构理论，它应该很好地适用于原子系统，其中相关的能量自然很小。在文献[27]中，已经成功地预测了BPT中LO的H Lamb位移的极化效应。在这里，我们将这个计算扩展到hfs中的极化效应。这需要自旋相关的非born VVCS振幅，并且在BPT功率计数中具有手性。
参考文献[27]中的图1显示了单环插入弹性轻子-质子散射的TPE图给出的领先极化效应。对于类康普顿过程，对于介子和核子N(x)场，可以方便地使用手性旋转的前导BPT拉格朗日量[38]:
（14）
式中[39]为核子的轴向耦合，MeV为介子衰变常数，为泡利矩阵，MeV和MeV为核子和介子质量。如文献[27]所述，通过减去单粒子可约VVCS图中的on-壳子环顶点，将玻恩部分从VVCS振幅中分离出来，参见文献[27]图1中的(b)和(c)。有关BPT框架的更多细节，请参阅参考文献。[40,41,42]，在-展开[43]的BPT计算中，可以找到自旋无关和自旋相关的核子VVCS振幅的完整次-次-前序(NNLO)。脚注4
在实践中，这里的大多数结果都是基于我们对结构函数中-生产通道的BPT预测得到的，参考文献[42，附录B]。计算结果与基于VVCS幅值的计算结果一致。
我们对H和H的1S hfs极化率效应的LO - BPT预测为:
(15a) (15b)
误差估计将在后面的章节中描述和解释。相应的对nS - hfs的贡献可以通过缩放得到，从式中可以看出。(3)和(4)。将自旋结构函数和分解为贡献，得到:
(16a) (16b)
值得注意的是，纵横截面和螺旋度差截面的贡献:
(16 c) (16 d)
都比总数大一个数量级，并且各自的符号不同。这表示取消和之间的LO缴款。
再加上TPE图中由于电子真空极化(eVP)引起的修正(见图10和附录B中的讨论)，在目前的不确定性范围内，其影响可以忽略不计:
(17) (b) 17日
然而，考虑到CREMA合作测量的H 1S hfs的预期精度为1ppm(对应于eV)，这一点很重要[8]。因此，我们在ppm和ppm之上包括额外的ppm和ppm。
为了理解为什么来自和大部分抵消的贡献，我们研究了自旋相关VVCS振幅的重子(HB)极限[48]。在保持光尺度比例不变的情况下，将振幅的LO BPT表达式展开，可以得到:
（18）
然后，我们仔细研究低能极化率展开中的第一项:
（19）
进入式(19)的质子极化率[49,50,51,52,53,54]的HBPT预测为:
(20a) (20b) (20c)
我们可以看到手性展开的主要项是。它们在不同的极化率之间相互抵消，因此，式(21)成为次要贡献:
（21）
因此，人们会期望hfs中的手性环很小。实际上，Eq.(15)中的LO BPT预测基本上消失了，其中的小数字主要是HB扩展中高阶的残余。在不确定性估计中必须考虑到这一点。
图2
BPT(蓝色)和HBPT(红色)在LO处的振幅。虚线表示相应的斜率项，即幂展开式的第一项。根据参考文献[55，表1]给出的极化率计算BPT斜率，HBPT斜率如式(21)所示。
请注意，上面的HB膨胀只是为了指导目的而引入的，但没有进入我们对极化效应的计算。振幅的HBPT预测，Eq.(18)，随着Q的增加而增加，因此，它对hfs的贡献将是发散的。这可以从图2中看出，我们分别比较了BPT和HBPT预测的手性环的贡献。
图3
极化率对H(左图)和H(右图)中1S超细分裂的影响:首阶环贡献的截断依赖。总的结果，方程。(15a)和(15b)用黑色箭头表示
BPT是QCD的低能EFT，描述了强子自由度(介子、核子、共振)的强相互作用。可靠的BPT预测的一个重要要求是，来自该EFT安全适用范围以外的贡献，即MeV，必须很小。对于LO - BPT对H Lamb位移极化效应的预测[27]，该尺度之外的贡献小于，因此在预期的不确定性范围内。比较了Lamb位移和hfs的TPE主公式，(A8)和(A7)，前者的权重函数对大的抑制更强。因此，重要的是要验证同样的质量标准仍然适用于这里提出的hfs预测。
让我们把极化效应看作一个带有动量截止点的运行积分，如图3所示。贡献(绿线)和总贡献(黑线)的收敛性很差。它们分别在GeV()和GeV()以上的能量处显示运行积分的符号变化。(红线)收敛得更好。其以上贡献分别为(H)和()。
上面指出的糟糕的高动量渐近性仅仅是传统分裂成和的产物。对于在Eq.(12)中引入的和的替代分割，截止依赖性大大提高。对于(蓝线)，以上两种氢的贡献都小于。对于(橙色线)，高能贡献分别小于()和()。这样，我们的结果与包含共振的BPT中LO预测[]的不确定性的自然期望一致。基于此分析，我们决定将误差分配给和贡献，并将其传播给和。有趣的是，在这种情况下，的不确定性大于的不确定性。这可以从贡献的相反符号中理解，在H的例子中，和:
(22) (b) 22日
摘要
1 介绍
2 超细分裂中的双光子交换
3.手性环
4 与其他结果比较
5 光谱学中Zemach半径的提取
6 中基态超细分裂的理论预测
\μ(\ \)H
7 有限公司
结论与展望
数据可用性声明
笔记
参考文献
致谢
作者信息
附录
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在本节中，我们将我们的LO BPT预测与其他可用的评估进行比较。此外，我们还研究了减法函数的贡献以及极化效应与轻子质量的比例关系。
让我们首先将我们的BPT预测与其他使用HB EFT的模型无关计算进行比较[56,57,58]。第一个关于弹性和非弹性TPE对H和hfs的影响的结果已在文献[56]中得到，其中计算了HB EFT中领先的手性对数的贡献，与潜在的NRQED相匹配。在手性展开的这个阶次上，介子-核子环和介子- δ环的极化效应在大范围内相互抵消，而交换抵消了部分点状修正，参见文献[48]。分析结果见参考文献。[56,59]激发了Zemach和极化率修正的相对大小。
关于TPE对氢光谱影响的最新HB EFT预测可以在参考文献中找到。[57,58,60]。在文献[58]中，和中介子环极化率贡献的差异引用为
（23）
其中，威尔逊系数以以下方式与hfs相关联:
（24）
为了比较，我们可以从其他理论对极化率贡献的预测中评估类似情况。在误差范围内，我们的LO - BPT预测与这个结果一致:
（25)
在这里，H和H预测的不确定性已在正交中组合以估计其差的误差。相比之下，从Carlson等人[14]的数据驱动色散评价可以推断:
（26）
其中，我们将参考文献[14]中引用的所有误差合并，并以与上述相同的方式估计误差。
图4
极化率对H和H(上、下面板)超细分裂影响的现有结果比较[14,15,16]
这里提出的BPT预测与传统的数据驱动的分散评估之间存在明显的差异。色散评价依赖于非弹性质子自旋结构函数、弹性泡利形状因子和极化率的经验信息。这种差异可以从图4中看出，图4将我们对极化效应的LO BPT预测与可用的色散评估进行了比较。将从核子- δ跃迁形式因子的大关系中获得的共振的次一级(NLO)效应的估计[61]添加到与模型无关的LO BPT预测中，将提高一致性，但不能提高一致性。
这种差异的起源必须被理解，以便对hfs中的TPE效应做出可靠的预测，这是即将进行的实验所需要的。这种差异的部分原因可能是低估了不确定性。总极化率效应的评估在两个地方会被消去:首先是在截面的贡献之间，其次是在低q区域的弹性泡利形状因子和非弹性结构函数之间。每次消去都会使结果减小一个数量级。在这里给出的计算中，前者是通过估计基于大和贡献的BPT功率计数中高阶修正引起的不确定性来考虑的，参见第3.2节的讨论。在色散方法中，重要的是要考虑到参数化和结构函数之间的相关性，它们都依赖于和的测量。后一种低q区域的消去将在下一小节中讨论。
数据驱动色散评估的一个主要缺点是它们需要独立输入非弹性自旋结构函数或相关极化率，以及弹性泡利形状因子。我们在式(10b)中的符号方便地说明了非弹性自旋结构函数的第零矩和弹性泡利形状因子如何在减法函数中组合:
（27）
这是零，因为泡利形式因子，和广义GDH积分，所以这两项完全抵消了。NLO BPT对坡度的预测为:[42]。它可以通过最低阶自旋[]和广义极化率[(0)和]的组合来表示，见式(19)。在HBPT扩展中，我们表明，在Eq.(20)中给出的这些个体极化之间，先导项相互抵消，将结果转化为子先导项，参见Eq.(21)。我们可以得出结论，弹性和非弹性贡献之间存在很强的抵消，这种抵消在更高的情况下继续存在。
对hfs的贡献由:
(28)
用经验参数化对这个减法函数贡献的评估趋向于比LO BPT预测更大的值。如果只考虑中间激发的单环箱形图，对BPT中NLO处的TPE效应进行部分计算，将进一步降低对BPT极化率贡献的理论预测，实际上将其变为负贡献[61,62]。经验参数化中的任何不精确，以及弹性和非弹性矩之间的抵消，都可以通过Eq.(28)中积分的红外区域的1/Q预因子来增强。因此，BPT计算在这方面具有明显的优势，其中极化效应可以直接通过VVCS振幅的非born部分获得，而不依赖于单独测量的输入。
为了进一步说明这一点，我们复制了参考文献[14]中低q区域的估计(有关输入的详细信息，请参阅其中的参考文献)。在该区域，没有EG1的实验数据[63,64]，积分是通过在较高和之间插值数据来完成的，利用静态极化率的经验值。对于with，近似公式为[14]:
(29日)(b) 29日
在哪里
（30）
注意H和H的公式不同，因为一个集合。第一项与弹性泡利形状因子有关，这里是泡利半径。其他项与贡献有关。考虑到更一般的Eq. (29b)，它们被定义为:
(31a) (31b)
在式(29)中观察到的弹性和非弹性贡献之间的强抵消可能是不确定性的来源。
此外，低q近似的质量相当差。我们可以在BPT的LO中进行测试。回想一下，在BPT功率计数的这个顺序中，没有对弹性形状因素的贡献。因此，只有非弹性结构函数进入。我们的结果如图5所示。在H (H)的情况下，Eq.(29)中的近似公式在GeV区域给出了()更大的值。因此，在数据驱动的色散方法中，必须适当考虑近似公式引入的不确定性，以及弹性和非弹性贡献之间的抵消。
图5
氢(红色)和介子氢(蓝色)在低q区的极化率贡献。实线是根据Eq. (10b)的精确结果，在Q积分上有一个上限。虚线和虚线分别用氢和介子氢的近似公式计算，见式(29)。
习惯上采用H[65,66]中1S hfs的高精度测量:
(32)
以完善hfs中TPE的预测[16,58]或总hfs的预测[13]。我们将在第6节中做同样的事情。Refs中的策略。[13,16,58]略有不同，但都对改变轻子质量时类氢原子中对HFS的各种贡献的标度进行了陈述。
在图6中，我们基于LO BPT预测研究了极化率效应的缩放。在左图中，我们假设(with和pol.)随着减少的质量而缩放。在右图中，我们假设它们与轻子质量无关，因此，它们会按比例变化。上(下)面板中的曲线为H (H)归一化，因此它们在()处固定为1。如果极化效应按照我们的假设缩放，即，或，所有曲线将一直为1。我们可以看到，缩放最适用于和的贡献，它们的绝对值很大。考虑到总体，其中来自和抵消的贡献约为一个数量级，相对而言，尺度违逆增强了约一个数量级。对于和的数值上的小贡献，可以观察到同样的缩放冲突增强。比较左面板和右面板，BPT预测似乎支持的假设，并缩放。因为，缩放几乎是完美的。因为，我们观察到随着轻子质量的增加而增加的尺度破坏。近似在的水平上成立。在包括对共振的NLO效应的估计后，近似保持在类似的水平上[61]。
图6
和(与和pol)的标度，作为轻子质量的函数
进入hfs的TPE可以分解为Zemach半径、极化率和反冲贡献，如式(5)所示。在TPE之上，我们考虑了eVP给出的主要辐射修正，见图10和附录b中的讨论。我们对hfs极化率效应的预测比数据驱动色散评估的常规结果要小，也意味着质子Zemach半径比之前从光谱中确定的要小。参见式(1)。下面，我们将从精确测量的H中的1S hfs(见式(32))和H中的2S hfs[5]中提取Zemach半径:
(33)
我们使用H[13]中1S hfs的理论预测:
(34)
H中的2S hfs [13]:
(35)
根据最近重新评估的后坐力修正[33]:
(36a) (36b)
表1质子Zemach半径的测定，单位为fm
比先前基于色散理论[68]获得的电磁形状因子的最佳测定精度提高了3倍[67]。附录c的表3给出了H中2S hfs的逐项贡献列表。通过对极化效应的LO BPT预测，也包括Eq.(17)中的eVP，我们得到:
(37a) (37b)
这可以与表1中收集的质子泽马赫半径的其他测定结果进行比较。脚注6:我们发现的半径与文献[69]中的质子形状因子分析一致，文献[69]使用H Lamb位移[5]中的质子电荷半径作为其拟合的约束。
图7显示了质子的泽马赫半径和电荷半径是如何相关的。它表明，一个“更小”的电荷半径，正如CREMA合作[5]最初在H Lamb位移(红线)中看到的那样，伴随着一个“更小”的泽马赫半径。虚线黑色曲线以偶极子形式计算，对于电和磁萨克斯形式因子，通过变化。浅红色和橙色波段如图所示，由我们根据高光谱偏振率效应的LO BPT预测提取，公式(37)。
图7
质子的泽马赫和电荷半径之间的关系。我们基于LO BPT的提取与Lin等人[68]、Borah等人[69]、CREMA[5]、Distler等人[70]、Kelly[71]、Bradford等人[72]、Arrington等人[73]、Arrington和Sick[74]的结果进行了比较。
即将到来的H[8,9,10,11]中1S hfs的测量至关重要地依赖于精确的理论预测。极限不确定性由TPE给出，通常分为Zemach半径、极化率和后坐力贡献[13]:
(38)
图8
H中1S超细分裂的双光子交换效应[14,16,58]
图9
H中1S超细分裂的预测[13,16,58]，与CREMA计划测量的预测不确定度(红色竖线)相比
参见附录C和表2的个人捐款的分项清单。如4.4节所述，习惯上借助H中1S hfs的高精度测量来完善H中1S hfs的理论预测。我们将H中极化效应的BPT预测Eq. (17b)和基于H中极化效应的相同预测从H光谱中提取的Zemach半径Eq. (37a)结合起来。我们得到:
(39a) (39b)
其中对应于文献[33]中包含辐射修正和反冲修正的TPE，如式(38)中的花括号所示。
在图8和图9中，我们将我们的预测与数据驱动的色散评估[14,16]和HB EFT[58]的结果进行了比较。虽然在H精化过程后，几乎所有对H中总hfs的可用预测都是一致的，但为了与预期的实验精度相竞争，需要进一步改进理论。
我们已经对H和H中极化率对hfs的影响提出了LO BPT预测，见Eq.(15)。与数据驱动的评估相反，BPT预测与零兼容。这是从VVCS振幅的HBPT极限中可以预料到的，特别是，它部分地显示了手性扩张中先导次序的取消，参见第3.1节的讨论。小的极化效应主要是HB膨胀中高阶的残余。
在式(12)中引入了一种新的形式，其中极化效应分为纵向-横向和螺旋度差截面的贡献，而不是自旋结构函数和的贡献。结果表明，这些贡献，和，抵消一个数量级，当组合成。在BPT框架中，只有和是良好的可观测值，对于该EFT安全适用的规模之外的贡献，MeV，在预期的不确定性范围内。此外，在类氢体系中，只有和相对精确地满足常规假设的标度，而在类氢体系中，相互抵消使标度中的任何违反都提高了一个数量级。
如图4所示，我们独立于模型的LO BPT预测比数据驱动的分散评估小得多。从核子- δ跃迁形式因子的大关系中得出的-共振效应[61]的估计表明，在NLO处差异可能会增加。从实验中得到的H中的1S hfs和H中的2S hfs，极化率效应越小，则Zemach半径越小，参见式(37)。因此，解决目前极化效应的差异对于分析即将进行的H中1S hfs的测量和提取泽马赫半径至关重要。
数据驱动的方法依赖于非弹性自旋结构函数的经验信息，或者精确地测量截面，以及弹性形状因子和极化率。由于和和之间有很大的消去，需要对前者进行精确的参数化，并且必须非常小心地估计TPE评估的不确定性，考虑到所有的相关性。此外，由于低Q处缺乏数据，人们使用从数据开始的插值[14]。正如我们在基于LO BPT的4.3节中所示，这些近似的质量相当差，并且是不确定性的另一个来源。来自Jefferson实验室“自旋物理计划”[17,18,19,20,21]的新数据，包括大量扩展的数据集[23]，将允许重新评估H和H中极化率对hfs的影响。
对H中1S hfs的精确理论预测对于未来的测量活动至关重要，因为它可以减少实验中共振的搜索范围。因此，在分配的光束时间内，人们可以更快地发现共振并获得更多的统计信息，参见文献[13]中的讨论。如果在H中实现对1S hfs的高精度测量作为约束，则可以弥补目前极化效应预测之间的差异。应用这一程序，发现所有理论对总1S hfs在H hfs之间的预测都很一致，见图9。最终，在成功测量了H中的1S hfs之后，人们可以将其与H中的1S hfs结合起来，利用文献[13]中解释的辐射修正来解开泽马赫半径和极化效应。通过这种方法获得的经验极化率效应可以达到ppm的精度[13]。这足以区分目前不一致的理论预测。
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