这项研究确定了在转码任务中出现的语言特定错误，以告知未来可能的教学决策，即在教授早期数字时使用的语言。我们比较了来自科威特和英国的5-7岁儿童。科威特的阿拉伯语口语不仅让我们有机会比较十进制和个位数顺序不同的语言，而且也让我们有机会比较书写方向不同的语言。我们让来自科威特的396名儿童和来自英国的256名儿童写下他们听到的2位数和3位数的数字。我们发现，语言的方向并不影响所犯错误的性质，但两种语言的其他方面可以解释我们发现的一些差异。除了支持先前关于十位和单位顺序的重要性的研究外，我们还发现了单词和在标记所涉及的数字数量方面所起的作用的重要性。我们还注意到，在阿拉伯语中说数字20,100和200的方式可以建立特定的符号联系，这可以解释我们发现的其他差异。在确定了特定于语言的错误之后，我们讨论了可能的教学决策，即在每种语言中暂时使用更规则的语言来表示数字名称，并提出数字名称的教授顺序可能与它们的数学数量级不同。
Much of mathematics learning is strongly grounded in number. A lack of understanding of, and confidence with, the structure of number can mean that subsequent work using number also becomes problematic. Addition, subtraction, multiplication, division, estimation, fraction work and even other mathematics areas such as angle, area and perimeter, use numbers. Even students as old as 14 years can still have significant issues regarding the meaning they give to numbers expressed in symbolic form (Hewitt & Brown, 1998). Numbers are sometimes said and sometimes written. Knudsen et al. (2015) found that mapping heard number names onto quantities was in advance of being able to do that with number symbols. What is of interest is to bring the spoken number names and number symbols closer together so that there is equal confidence with both forms. This places an educational importance to the learning of writing numbers in symbolic form beyond that aspect of the curriculum. The dynamic between what is said and what is written can either assist or obfuscate a sense of the underlying mathematical structure of number, such as place value. Some languages are very regular in the way numbers are said, and this can support the underlying mathematical structure of written numbers. For example, many East Asian languages, such as Chinese, Japanese and Korean, have regular number names which include words which explicitly assist the understanding of the value of each numeral, such as ‘ten-two’ for 12 and ‘three-ten-four’ for 34. In contrast, many Western European languages have far less regularity, particularly with the -teen numbers. This can affect not only gaining a sense of the underlying place value structure of number, and hence the relative size of numbers, but also the carrying out of arithmetical tasks as well. For example, the language of ‘one-ten-two’ add ‘four-ten-six’ assists gaining the answer of ‘five-ten-eight’, whereas the language of ‘twelve’ add ‘forty-six’ does not. The significance of language in the teaching of early number has an impact way beyond just the learning of number names. Ng and Rao (2010) found that the Chinese number naming appeared to help children learn about place value, counting and carrying out various arithmetical tasks. Children from Japan and Korea tended to represent two-digit numbers using appropriate ten and unit blocks whereas children from America, Sweden and France tended to use only single unit blocks, indicating a weaker sense of place value (Miura & Okamoto, 2003; Miura et al., 1993). Transparency of mathematical structure within the Chinese language has led to strategies being offered within textbooks to ‘make-a-ten’, whereas American textbooks do not, as the language does not support this so much (Ng, 2012). G?bel et al. (2011) highlighted that number words, in particular, have an influence on number representations. There are also factors other than regularity which might assist children in their learning of number. The Chinese names for the digits tend to be short, compared with English. This can ease load on working memory when the children are having to memorise the number names (Ng & Rao, 2010). There are also other linguistic differences, such as the way in which numbers are part of daily life, with weekdays in China being referred to as weekday 1, weekday 2, etc., and family members being known by their order of birth in the family (Zhang & Zhou, 2003). It is difficult to disentangle these cultural differences with linguistic differences. However, in a comparison between 8 and 10 year-old Welsh-speaking children and English-speaking children, where there was less contrast in cultural and educational matters than in other cross-national studies, Welsh-speaking children found it easier to read and compare two-digit numbers (where they have regular number names) than the English-speaking children (Dowker et al., 2008). There were even gains made by children whose first language was English but who were taught through the medium of Welsh, compared with those taught through English. This suggests that it was the linguistic differences which were significant in gaining this stronger sense of place value, and gives weight to the significance of the language through which numbers were taught over a child’s first language. This leads to the awareness that the dynamic between what is said and what is written in numerals is important within children’s mathematics education. There have been many studies with a focus on counting, subitising and ordinality (for example, Askew & Venkat, 2020; Bruce & Threlfall, 2004) and these important aspects of a child’s mathematical development ultimately depend upon their understanding of, and confidence with, spoken and written number names. Identifying particular linguistic issues which may lie at the heart of children’s errors can inform ways in which language of number names might be temporarily adapted to better assist children’s learning of place value notation. For example, Magargee and Beauford (2016) carried out a study where some English and Spanish children were given an intervention in pre-kindergarten using explicit, regular number names when learning to count. They continued to benefit throughout a 6-year period, in terms of an accelerated acquisition of place value recognition and concepts of numeracy, compared with those children who had been taught using their non-regular natural language names for numbers.
数字名称的语言和书写这些数字的符号方式之间的联系引起了人们对转码的极大兴趣——将用文字表示的数字转换为符号表示的过程(例如Moeller等人，2015;Zuber et al.， 2009)。Byrge等人(2014)强调，一些错误似乎来自于将单词直接映射为书面符号的尝试。在这种情况下，数字在不同语言中的表达方式就变得尤为重要。已经有许多研究比较了儿童早期在规律性方面不同的语言中的数字学习(例如Clayton等人，2020;Moeller等人，2015)，但据我们所知，还没有任何研究分析了比较具有不同阅读方向的语言的转码任务。这可能有一定的意义，因为Bergeron和Herscovics(1990)发现，当幼儿园的孩子被要求从右到左写出他们知道的数字(例如. .....)时，他们有时会把注意力集中在数字的书写顺序上，把12写成21(1,5,4,3,2,1)。Bergeron和Herscovics称这是对位置符号的时间顺序理解。书写方向的问题是我们关注比较英语和科威特儿童将口头数字名称转换为书面符号形式的能力的原因之一，因为英语和阿拉伯语有不同的书写方向。首先，我们寻求检查错误的相对差异，其次，考虑在学校设置的早期数字教学的教育意义。教学方法的决定不仅取决于所教授的数学内容，还取决于与该内容相关的语言。因此，我们想要找出语言可能影响儿童相对成功的方式，从而为未来可能的教学决策提供信息，而不是在教授早期数字时使用的相关语言。阿拉伯语和英语在学习各自语言中数字名称的书写结构方面都有其优势和障碍。我们试图探索数字是如何以传统的位值形式支持或混淆儿童的数字书写的。我们首先回顾一下孩子们所经历的一些已经确立的困难。孩子们会用不同的方式写数字，在他们逐渐了解什么是被社会认可的传统数字书写方式的过程中。一个学生写的东西，是他们表达他们在那个时刻所拥有的意义的方式。即使他们没有以社会认可的传统方式写出来，意思在数学上也可能是合理的。我们在整篇文章中使用“错误”一词，仅仅是指所写的内容不符合惯例。
倒排是指“与数字符号相比，数字单词中的十位和单位顺序颠倒”(Helmreich et al.， 2011, p. 600)。这种情况发生在德语中，24被说成是4加24，而不是24。Clayton et al.(2020)发现说德语的儿童比说英语的儿童出现更多的倒转错误。在两种语言都有倒装的情况下，在青少年数字中，德语和英语儿童都有相似比例的倒装错误。其他研究转码的结果也表明，语言倒置国家的儿童比语言不倒置国家的儿童有更多的倒置错误(Imbo等人，2014;Moeller et al.， 2015)。Pixner等人(2011)研究了捷克语，其中存在两种表示两位数的系统，一种是颠倒的，另一种不是颠倒的。孩子们必须在两个系统中执行转码任务。他们发现，大约一半的错误与倒排数字单词系统有关，而在非倒排系统中几乎没有发现任何这样的错误。尽管根据课程，儿童可能被期望“掌握”两位数的数字，但倒置效应仍然存在(Krinzinger et al.， 2011;van der Ven et al.， 2017;Van Rinsveld & Schiltz, 2016)，甚至可以坚持7至9岁的算术工作(G?bel et al.， 2014)。Ganayim et al.(2020)发现，在转码任务中，许多成年大学生仍然存在交换十位和个位数的错误。这些学生是双语的，他们的第一语言是阿拉伯语(说两位数的数字时先说个位数)，第二语言是希伯来语(说两位数的数字时先说十位)。Ganayim等人(2020)指出，这种类型的错误主要出现在非十进位数和非十进位数中，这些数字的命名结构顺序尤为重要。有趣的是，与希伯来语相比，用阿拉伯语进行转码任务的错误率更低。这可能表明，对于这种类型的错误，第一种语言的置信度可能比数字名称的语言结构更重要。然而，应该注意的是，这两种语言都是从右向左书写的，因此两位数字XX与阿拉伯语的书写方向相同，而不是希伯来语。因此，我们认为是希伯来语，而不是阿拉伯语，有倒装。
Byrge等人(2014)发现，当要求4到6岁的孩子写三位数的数字时，他们会添加额外的零或“100”。他们说，“扩大的作品似乎以牺牲书面形式的位置或位置为代价，保留了听觉形式的结构”(第442页)。这是Zuber et al.(2009)所说的语法错误的一个例子，其中有正确的数字，但总体大小是错误的。他们将句法错误细分为具有加性组成错误的语法错误，例如将一百二十三分为10023;那些是乘法构成的错误，如4100等于400;那些是反转误差。
Dehaene(1992)表明，参与者倾向于有一条内部数轴，较小的数字位于左侧，较大的数字位于右侧。这被称为SNARC效应(反应码的空间-数值关联)。在这条数轴内想象数字的方向也被认为与学生在主要语言中的书写方向有关，对伊朗参与者的影响正好相反，他们的文字是从右向左书写的(Dehaene et al.， 1993)。Zebian(2005)对黎巴嫩参与者和Shaki等人(2009)对巴勒斯坦人也发现了这种逆转，他们都说从右到左的阿拉伯语。当然，这可能不仅仅与书写方向有关，还与数字显示的相关文化方式有关，例如，在尺子或公共标志上(Dehaene et al.， 1993)，或者实际上是不同的课程效果(Krinzinger et al.， 2011)。然而，在另一项研究中，Shaki和Fischer(2008)确实表明，阅读活动与空间想象数字的方式有因果关系。
在比较从左到右和从右到左阅读语言的国家的儿童时，这些研究中关于转码错误可能出现的差异存在空白。Nuerk et al.(2011)指出了这一点，并表达了这样的观点:“我们认为可以想象，从右向左书写单词，但在阿拉伯数位中，从左向右书写数字(例如在希伯来语中)可能会在多位数处理中产生额外的文化特定干扰”(第17页)。正是出于这个原因，我们决定比较来自英国和科威特两个国家的儿童转码。在英国，文字是从左向右书写，数字是从左向右书写。科威特人说阿拉伯语，从右向左书写，而数字的书写方式与德语类似:从左向右，但十位和个位数是颠倒的。因此，我们可能会期望与那些包括德国参与者的研究产生类似的效果，但由于写作时的方向不同，可能会有其他因素。具体来说，我们想要回答这些问题:这些5到7岁的孩子在转码一位数、两位数和三位数时会犯什么类型的错误?英语和科威特儿童的错误有什么不同?这些错误是如何受到数字表达方式和文字书写方向的影响的呢?在早期数数教学中，如何说数字可能会产生什么后果?
摘要
1 背景
2 阿拉伯语和英语的数字命名系统
3.f
rameworks
4 方法
5 结果
6 结论
7 教育
最终影响
数据可用性
参考文献
致谢
作者信息
道德声明
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在阿拉伯语中，大多数两位数的数字都是先说后写的，个位数在前，然后是十位。例外情况是10的倍数，从左到右书写。所以，ushroon(20)会先写2，然后写0，而wahed wa ushroon(21)会写21，但先写1，再写2。对于三位数的数字，将先说并写百位，其余数字遵循两位数惯例。与书面数字相关的口语有不同的单词表示数字1到10(见表1)。
表1阿拉伯数字的数字名称。请注意，这些名字的拼写近似于口语的发音，因为阿拉伯语写的是s脚本是完全不同的
“-teen”数字是用单位数字单词后跟ashrah(10)的变体来表示的。例如，13会被说成thalathata-ashar(三个10)。除10的倍数以外的其他两位数也以类似的方式表示，但在数字之间包含wa (and)。例如，57 ()会被说成saba 'ah wa khamsoon(七和五十)。对于数字30 ()， 40 ()， 50 ()，…90 ()，名称的开头类似于3(根)，4()，5()，…，9()，但有一个-oon音结尾，这与10 ()的名称不同，它的名称是ashrah。20 ()的开头有一个来自10 ()的音，而不是来自2(缌)的名字，最后以-oon音结尾。20 ()和10的其他倍数之间的差异也可以在百位的名称中找到。100 (?)本身就是一个单词me 'ah(相当于一百而不是一百)。200 (?)采用了100 (?)的“pair”形式，即me ' atan，在末尾添加了一个-an音。100的其余倍数的形式相当于500的500 (?)。
除10的倍数外，两位数在阿拉伯语中都是先写个位数，后写十位。这使得反转问题特别有趣，因为说和写这些数字的顺序是相同的。因此，如果将反转定义为口头数字名称和书面符号的顺序的比较，则这些数字名称的语言不是反转语言。这也适用于10的倍数。尽管数字是先写10后写0，但数字名称也反映了这一点(参见表1)。
英文数字1到12有单独的名字，后面跟着-teen数字。这些词大多有规律，单位数字后面跟着音-teen。从20开始的数字是从左到右书写和发音的，10的倍数遵循的规则是，在60到90之间，只说相应数字的名字后跟-ty(例如six-ty)。20、30、40和50的名字开头都有一些例外。与美国不同的是，在英国，and这个词是在三位数字的百位后面说的。
我们使用两个框架，它们都植根于维果茨基的观点。第一种观点认为语言和思想是相互联系的。的确，维果茨基(Vygotsky, 1992)声称“思想不仅仅是用语言表达的;它通过它们而存在”(第218页)。孩子们对数字符号符号所产生的意义，部分是与该符号相关的语言所产生的结果。表示法62是表示为62还是表示为二加六十很重要。Vygotsky(1992)讨论了关联符号是否具有反转的性质。例如，符号62可能与德国儿童的等效单词two和sixty联系在一起;然而，对于他们来说，2和60这两个词是否与62联系在一起，而不是与26或260或其他什么联系在一起，这是另一回事。如果一个孩子没有发展出对某些数字单词的意义，那么我们就会注意到“一个没有意义的单词是一个空洞的声音”(Vygotsky, 1992, p. 6)。在这种情况下，一个孩子可能会用2和60以外的符号来回应，而不是2,6或0，或者他们可能根本不写任何东西。与数字相关的单词和符号是数学结构的一部分，在本例中是位值。期望的教育结果是，孩子们获得了这些与数学结构密切相关的单词和符号的意义。通过“意义”，我们在这个阶段不考虑基数。我们用“意义”这个词来表示一种潜在的规则，这种规则支配着数字名称用符号表示的方式。我们看到意义、词语、符号和底层的数学结构如图1所示被联系在一起。维果茨基(1992)说:“言语本身是建立在符号和高级智力操作结构之间的关系之上的，而不是纯粹的联想联系”(第109页)，因此我们认为，对于儿童来说，单词和符号之间的直接联系只是通过一种结构的感觉来建立的，这种结构形成了伴随它们的时间意义。时间的意思是，在建立一种与我们的位置价值系统相一致的结构感的过程中，可以形成一系列近似结构。我们认为将底层结构直接“给定”给学习者是不可能的;这需要他们自己来做，通过尝试抽象规则，当某些单词被说出来时，应该写什么，反之亦然。因此，口语和书面符号之间的联系具有相当大的教育意义。在教育上值得期待的不仅仅是将任意单词与任意符号联系起来，而是基于位值的潜在数学结构获得对单词和符号系统的感觉。这是数字的情况，其中的关联是泛化的，超出了之前已经满足的特定示例集合。例如，你能够大声说出数字7289是由于你发展的一般意义，因为很可能你以前从未被要求说出这个数字。
图1
单词和符号之间的一般联系是通过人们对它们的理解而建立起来的。单词和符号背后有一个数学结构，教育的目的是让孩子的意思与这个结构保持一致
第二个框架来自维果茨基对皮亚杰自发和非自发概念或科学概念的发展。自发概念源于儿童对感知属性的个人反思，而科学概念则是来自家庭和学校等外部来源的“文化形成和传播”(Alves, 2014，第25页)。维果茨基(Vygotsky, 1992)认为这两个概念相互作用并统一为一个整体系统。当孩子们被引入“科学”的概念，即数字是如何在位置值系统中书写的时候，他们也在发展自己的个人概念，即这种系统背后的规则是什么。被老师教导如何写数字并不总是与孩子对这个系统产生的自发概念相一致。否则，数字书写的“错误”就不会发生。正如Brizuela和Cayton(2008)所说，“正在构建的符号对正在构建的概念和意义有影响，反之亦然”(第212页)。我们认为，当引入科学概念时，并不像孩子们接受这些概念那么简单。相反，他们为这些新想法带来了一种自发的概念。正如维果茨基(Vygotsky, 1992)所说，“儿童在吸收成人的概念的同时，也在这些概念上烙上了他自己的心理特征”(第154页)。孩子所采取的行动可能开始不仅仅是记忆试图复制他们被告知的内容。相反，他们可能会从记忆老师给他们的规则转变为基于个人抽象规则的意识，这些规则来自他们对这些想法的经验。这有效地将他们的行动从“自上而下”的科学概念转变为“自下而上”的自发概念。相反的转变也会发生，一个孩子按照自己的想法行事，结果却发现自己的想法与老师所说的不一致。在这里，他们可能会放弃(至少暂时地)原始的自发思维方式，并试图从老师那里将其作为科学概念纳入其中。因此，对一个新概念的学习是在一段时间内进行的，涉及自发概念和科学概念之间的动态变化，直到两者相遇。维果茨基(1992)阐明了这一点，他说:“儿童和成人对一个词的含义常常在同一个具体对象中‘相遇’，这足以确保相互理解”(第111页)。然而，这些各自的“含义”可能在一定的变化范围内相遇，比如对于两位数，但发现当数字扩展到该范围之外时，情况并非如此，例如对于三位数。
我们让来自科威特和英国的孩子们回答三种类型的问题:写下别人对他们说的数字;把用文字写出来的数字写成数字形式;用数字形式表示的数字。本文将集中讨论第一个问题。来自科威特的孩子们来自两所小学，一所是男校，一所是女校。一年级(5-6岁)191名，二年级205名。孩子们都说阿拉伯语。来自英国的孩子来自四所不同的小学，其中一年级(5-6岁)142人，二年级114人，三年级87人。本文将只关注来自英国的一年级和二年级以及来自科威特的所有孩子。另外还有12名来自英国的孩子，他们的答案被打了折扣，原因要么是没有签署同意书，要么是在相关的日子里生病或缺勤后数据不完整。所有来自科威特的数据都被使用。我们没有关于英国儿童第一语言的数据，但从每所学校中母语不是英语的儿童的比例推断，我们估计数据集中约有11.5%的儿童可能不是英语作为他们的第一语言。我们注意到，Dowker等人(2008)表明，在两位数的比较中，教学语言可能比儿童的第一语言更重要。
我们要求孩子们写出并说出28个数字，其中6个是一位数，13个是两位数，9个是三位数。在本文中，我们集中讨论2位数和3位数。这些数字的选择考虑了-teen和-ty数字的混合(1X和X0数字)，非teen的XX个两位数，以及X00、XX0、X0X和XXX个三位数的选择。在满足上述要求的同时，我们尽量减少题目的数量，以免让孩子们的考试时间过长。
数据是由班主任在英国收集的。他们读出一系列数字，然后要求孩子们把数字写在答题纸上的方框里。每回答4个数字后会有一个短暂的休息时间，答题卡上的答案框也会有一个视觉间隙。这是为了防止孩子们不确定他们应该把当前的答案写在哪个盒子里。在科威特，进行了类似的过程，但由一名研究人员读出数字。
错误的答案被编码，最初是基于文献和我们自己以前的知识，作为教师，教育工作者和研究人员。这包括“反转”错误，在镜像中反向书写数字，以及加法和乘法组合错误(Zuber et al.， 2009)。我们还采访了科威特的一些小学教师，以收集他们对孩子可能犯的错误的看法。我们有可能发现一些我们事先没有考虑到的错误。这样就有了主题分析的成分。我们将那些看起来不像数字或图画的涂鸦归类为未回答的问题。许多答案都有多个代码，因为在同一个答案中可能出现不同类型的错误。例如，当480写成40018时，它被赋予了一个代码，用于将400写成两个零，以及将80与-teen数字18混淆的代码。Steiner et al.(2021)也发现组合错误的频率很高。此外，我们强调了不符合常见错误或有额外的，特殊的，他们的答案方面的答案。然后，两位研究人员对代码进行了漫长的审查，以确保英国和科威特数据集的编码一致性。我们收集了这些代码出现的总次数，以及其中的百分比，并与学生在被要求写下这些数字的情况下犯这些错误的机会数量进行了比较。然后，我们从两个方面反思了在各自的语言中所犯的特定语言错误的本质:特定错误如何与说数字时使用的语言联系起来;并在整个年级中了解数字如何书写的明显自发概念与在位置值系统中书写数字的社会一致的科学惯例之间的一致性。最后，我们考虑了帮助儿童获得数字的潜在位置值结构的感觉的教育意义。
到目前为止，十位和个位数的交换是科威特儿童中最常见的错误，在第一年有10.2%的书面答案有这个错误，在第二年仍然有7.1%。从技术上讲，这不是反转错误，因为说出的数字名称的顺序与孩子们学习写数字的顺序相匹配。因此，这对我们来说是一个意外。它反映了反转是语言的一部分的其他语言中发现的错误，以及这些错误如何持续到课程可能建议儿童对两位数有信心的时候(Krinzinger et al.， 2011)。这背后的一个可能的原因是，阿拉伯数字的书写顺序几乎没有一致性。对于XX数字，先写右边的数字;但是对于X0个数字，左边的数字写在前面。这种一致性的缺乏意味着培养一种更自然的如何写这些数字的感觉更加困难，所以孩子们只能试图记住这些似乎相当武断的规则，作为一个科学概念。此外，正如下一节将讨论的那样，三位数的XXX数字包括先写最左边的数字，然后是最右边的数字，最后是中间的数字。因此，科威特儿童在决定是先写最左的数字还是先写最右的数字方面有困难，这也许并不奇怪。虽然频率较低，但我们也发现科威特儿童的X0数字交换错误。尽管02 ()可能看起来有点不寻常，并且单词是从左到右说的。这支持了这样一种观点，即这个错误与其说是关于反转，不如说是关于数字的说序与写序缺乏一致性。
与英语中XX数字更大的一致性可以帮助这些孩子对这些数字形成一种自发的概念，这与社会上接受的关于如何书写数字的惯例是一致的。然而，这种几乎适用于所有XX数的自发概念不适用于1X -teen数。英文数字是唯一在数字名称的语言中有反转的数字。因此，在这些数字中，我们发现英国儿童出现了倒序错误，这并不奇怪。
单词wa (and)的影响可以在科威特的两位数数据中看到。在阿拉伯语中，“-teen”数字是单位数字，后面跟着“10”这个词的变体。例如，18 ()被称为thamaniata-ashar(8 - 10)。在表示非十位数的XX数时，在单位数字的名称和对应的十位的名称之间加上单词wa (and)。例如，48 ()被说成是thamaniah wa arba 'oon(8和40)。单词wa的加入意味着两个数字对应的单词是分开的，这增加了它们被视为408 (?)而不是48 ()的可能性。表2证实了这一点，在表2中，这个错误很少发生在-teen数字上，但在非teen两位数上发生的频率是它的十倍以上。这种错误在英国孩子身上几乎没有发生过(只有5次)。在英语中，单词and不表示两位数，因此不作为区分处理的十进制和单位制单词的标记。这向我们表明了“wa”这个词在建立与社会公认的位置价值惯例相冲突的自发概念背后的规则方面所起的作用。
表2科威特一年级儿童将两位数的十位写成单独数字的错误发生情况(例如48 ()写成相当于408 (?））
这个错误是科威特的孩子特别流行的数字25()和26()(分别为14.3%和16.4%的第一年)和远所以与其他XX数字(下一个最高是52()与第一年5.2%)。两位数以上的年代,十位数的阿拉伯语是基于个位数的声音有额外的结局里的声音(见表1)。例如,5(?)据说khamsah和50()是khamsoon说。然而20 ()是不同的，2(缌)被说成是少数民族，20 ()被说成是少数民族。这可能导致ushroon和数字2(缌)之间形成较弱的联系，而khamsoon和数字5()之间则形成较弱的联系。相反，ushroon与20 ()本身有更强的联系，因此20 ()更有可能被包含在25 ()或26 ()(即?或?)的写作中。三位数也出现了类似的问题，这将在下一节中讨论。
英国孩子犯的另一个明显错误是混淆了数字名字的-teen和-ty结尾。表3显示了给定答案中存在此类错误的百分比。似乎这种错误很快就消失了，因为2岁的孩子很少犯这种错误。我们在表格中加入了12，以表明-teen和-ty结尾的问题比常见的twe-开头音更严重。这种-teen和-ty的语言问题在科威特儿童中不存在，例如，很少有混淆13和30的错误。在阿拉伯语中，数字1X和数字X0的结尾有明显的语言差异。这表明单词的发音和数字名称中涉及的单词的组成都很重要。
表3混合的错误百分比的,他们与泰数字(例如写30 for)13）
5.2.1 百位的位置
对于三位数，阿拉伯语有额外的方向复杂性。与德语不同，文本的自然阅读是从右向左的，这很适合书写和阅读两位数字XX，其中单位数字先写，然后是十位数字。然而，对于三位数的数字，教学的做法是先说百位，然后是单位，然后是十位。这意味着，从自然的从右到左的角度来看，需要跳跃到左数字，然后回到右数字，然后处理中间数字。在这个改变方向的问题上，我们发现科威特一年级的孩子最常见的错误是从右边开始写三位数的数字，结果在个位数上出现了百位。例如，将thalatho-me 'ah wa khamsta-ashar(315)写成153 (?)。这涉及两个因素;第一个原因是书写的文字通常是从右边开始的，第二个原因是他们在书写两位数的数字时已经习惯了这样做。我们认为，从两位数的经验中建立起来的自发概念已经被许多儿童转移到三位数的情况下。在第一年尝试写三位数的学生中，超过50%的人会犯这个错误。这种情况一直持续到第二年，超过16%的尝试出现了这种错误。尽管在那一年，三位数的数字被明确地教授。正如维果茨基(Vygotsky, 1992)所指出的，“发展曲线与学校教学曲线并不一致”(第185页)。这种类型的错误在英国孩子中极为罕见，在一年级和二年级总共只出现了五次。在英语的情况下，三位数的书写遵循了两位数的书写方式，也延续了从左到右的自然书写方式。
5.2.2 交换十位和个位数
在二年级，当科威特儿童明确地学习三位数时，有一个错误比一年级时更加突出。这是用三位数交换十位和个位数的错误(第二年的尝试率为13.3%，而第一年为9.4%)，尽管用两位数交换十位和个位数的错误有所减少。这似乎是试图学习如何处理三位数的结果。如果他们记得从左边的百位开始，然后写正确的数字，他们还必须记住在写个位数之前留下一个空白，然后用十位填上空白。这需要一个新的科学概念。实际上，有两条规则需要记住(见图2所示的必要方向变化)。只要忘记其中一个规则，就会导致十位和个位数倒转，尽管这两个数字在最后的三位数中会出现不同的位置(参见图3)。
图2
为了正确书写三位数259 (?)，阿拉伯语中需要改变方向
图3
写259 (?)时的错误，因为忘记了两条新规则中的一条:a留下空隙，b从左边开始。这两种方法都会产生十位交换和单位错误
当孩子们确实应用了这些规则中的一条时，他们通常会朝着一个方向继续。例如，对于259 (?)这样的数字，孩子们会听到数字的顺序是2(缌)，然后是9 (
)，然后是5 (
)。如果他们把百位放在左边，那么把它写成295 (?)会保持向右的方向(图3a)，而不是不断改变方向来正确地写(如图2)。
在交换错误的同时，很少会出现在右边的百位上写XXX个数字的情况，如图3b所示。这可能是因为从右边的百位开始，已经表明他们倾向于留在他们所学的两位数上，所以他们继续向左走，就像他们在写两位数时那样。因此，这避免了这个特定的错误。
5.2.3 在百位后面写100或00
数字的百位部分通常是通过两个词来表达的:第一个是数字词(例如four)，第二个是数值词(例如hundred)。这可能导致孩子们先写数字，然后再写值字，比如100。所以，830可以写成810030。这是科威特一年级儿童的常见错误，近三分之一的尝试犯了这个错误。这种情况在英语一年级的孩子中不太常见，尽管仍有近十分之一的人尝试过。对于这两个国家来说，这种错误很少发生在第二年，所以它似乎是短暂的。特别有趣的是，语言似乎在这类错误中起着重要作用。对于科威特一年级的孩子来说，虽然这是其他三位数数字的常见错误，但它只发生过一次259 (?)。在阿拉伯语中，200 (?)不是被说成200——一个数字单词后面跟着一个数值单词——而是作为单词me ' ah(100)的“配对”形式me ' atan。因此，它是一个单词，因此不鼓励写下两个数字，一个用于“数字”单词，另一个用于“值”单词(见图4)。因此，将259 (?)写成210059 ()的错误非常罕见，只发生一次，而这是其他数百个常见的错误。这也与上面与20 ()讨论的类似语言问题有关。我们认为这表明了孩子们自发概念的发展对他们写数字名字的方式的影响。与其他三位数的数字相比，许多科威特儿童在259 (?)上犯了明显的错误，这一事实表明，他们不仅仅是在记忆老师给他们的科学概念，而是在这些特定数字名称的语言基础上发展出更多自发的概念。当然，在英语中，除了单词100之外，还有单词two。结果，英国孩子犯了一个错误，他们把百位分解成百位后面跟着100，就像259和其他百位一样。
图4
阿拉伯语的发音关联会导致200 (?)数字与其他100个数字的写法不同(此处以300 (?)为例)。
我们进一步研究了百位的写法。在英语和阿拉伯语中，包含and这个词有助于将400从80中分离出来，从而增加了这两个词分开写的可能性，400先写，80后写。有趣的是，这类错误在英国儿童中出现的频率是科威特儿童的两倍多;这与在百位后面包含100的错误形成对比，科威特儿童的这种错误发生的频率是英语儿童的三倍多(见表4)。这与我们之前讨论的关于除了200个数字之外的所有数字都与后面跟着100的数值数字相关联的可能性有关(图4)。这种差异也可能受到英语和阿拉伯语中100的不同说法的影响。在我们的研究中，对英语孩子来说，它被说成一百——一个数字词(一)后面跟着一个值词(一百)——而在阿拉伯语中，它总是被说成一百(me 'ah)。这意味着在阿拉伯语中，单个单词100 (me 'ah)可以带有100 (?)的符号。在英语中，这两个单词可以各自携带100表示法的一部分，其中1与1相关联，100与00相关联(见图5)。
表4在百位(第1年)后输入00 ()或100 (?)的错误尝试百分比
图5
说100 (?)的方式可能有不同的联系
阿拉伯情况的一个后果是，老师可能会觉得将me 'ah(100)与100 (?)符号联系起来有助于建立潜在的数学位值结构。然而，孩子可能正在形成语言联系，导致300 (?)的名字与3100 ()而不是300 (?)联系在一起(图6)，并且与符号的期望数学结构分离。这凸显了教师面临的一个复杂的教学困境。在更详细的分析中，似乎有助于为位值的结构发展一种声音意义的东西，可能会与传统的数字名称书写方式产生潜在的不一致。
图6
a)孩子将单词me 'ah与符号100 (?)联系起来。虚线表示教师可能将这些与潜在的数学结构联系起来，但对孩子来说不一定如此;B)习得的联想与thalatho-me 'ah一起使用，并揭示了与数学结构的脱节
这意味着科威特儿童将100与100 (?)联系起来的可能性增加了，而英国儿童可能将100与00联系起来。这可以解释英国和科威特儿童之间的差异，如表4所示。
5.2.4 少了一个0
科威特儿童和英国儿童之间的另一个显著区别是，当被要求写下别人对他们说的数字时，他们可能会漏掉零。当一个数字，比如5104，被写成54 ()时，就会发生这种情况。这种情况在英国孩子身上完全没有发生，但在科威特孩子身上却很常见(21.4%的问题涉及三位数的数字，其中有一个零)。这种戏剧性的差异令人惊讶。英国孩子更倾向于增加额外的零，而不是遗漏任何零。数字的表达方式并没有提到零元素。504说的是500和4而不是500，没有10和4。零只能通过某些可能被期望的东西的缺失来确定。作为一个听众，我必须期待听到一些关于十的东西，然后通过写一个零来注意它的缺失。如果我不希望听到什么，那么我就不会注意到它的缺席，因此不写零。英语和阿拉伯语书写方式的不同，意味着决定是否写零的时刻发生在不同的时间点。对于一个说英语的人来说，通常听到一个三位数的数字，比如564，被说成五百六十四，然后是十，然后是单位。对于504，注意到没有十位发生在说出三位数名称的中间。因此，0可能会在写最后的4之前被写入。在阿拉伯语中，564 (?)被称为khamso- me 'ah wa arba 'ah wa sittoon(五百四十四和六十)，其中两次出现wa (and)，标志着从一个位置值到另一个位置值的移动。对于504 (?)，注意到没有十位发生在末尾，在已经写完5()和4()之后。对于科威特的孩子来说，有两件事发生了。首先，写零可能会成为事后的想法，在所有其他数字都写好之后才必须做的事情。其次，没有第二个wa，这表明存在另一个位置值。在英语中，只有一个，无论十位数字是否为零。因此，它在标记数字所涉及的位数时不起这样的作用。
对于XX0个三位数，注意到缺少数字的决定时刻在两种语言中发生相反的情况。这一次，对于说英语的人来说，在没有说个位数之前，已经写好了百位和十位。而对于说阿拉伯语的人来说，它发生在中间，在所说的百位和十位之间。因此，我们预计在科威特的数据中，xx的数字可能比X0X的数字更少出现这种错误。事实证明确实如此，X0X数字的每次尝试的比例错误比XX0数字多50%。即使对于XX0数字，这仍然是科威特儿童的常见错误(约占20%)，这使我们觉得单词wa/and的作用仍然很重要。
儿童在转码数字时所犯的错误与之前的研究中发现的错误相似，这些错误是交换十位数和个位数-视觉上类似于其他一些语言中的反转错误(Imbo et al.， 2014;Moeller et al.， 2015)，更完整地写出十位和百位数字，例如205表示25 (Clayton et al.， 2020)，省略零或添加额外的一，并添加在所说的数字中没有出现的额外数字。
我们确实发现了两种文化背景下的显著差异，其中许多差异可以用数字表达方式的差异来解释。在两位数的数字交换方面，科威特儿童比英国儿童犯的错误要多得多，其中英国儿童犯的错误主要是用倒写的数字，即-teen数字。对于科威特二年级的孩子来说，交换十进制和个位数仍然是一个常见的错误，而对于二年级的英国孩子来说，这是一个罕见的错误。我们发现这些错误也出现在科威特儿童的三位数上，特别是在二年级。十位和个位数的交换在其他语言中也有共同的特征，比如德语，在这些语言中会出现反转错误(例如，Moeller et al, 2015)。然而，由于阿拉伯语是从右向左书写的，我们觉得可能涉及到其他因素。Nuerk等人(2011)认为，对于从右向左书写的儿童来说，处理多位数可能会涉及一些额外的干扰。科威特儿童需要从右跳到左，然后再跳到右，最后跳到左，这给书写三位数带来了复杂性，这是英国儿童所没有的。忽略(a)留下空白或(b)从左侧开始这两条规则中的一条，将导致交换错误。二年级明确的三位数教学意味着比一年级更多的孩子尝试做这些问题，但表明他们并没有始终遵循这两个规则来避免这样的错误。
英语中-teen和-ty的相似之处似乎导致英国儿童混淆了这两个数字，并将其写成，例如，将30写成13。科威特儿童没有出现这种错误，因为在阿拉伯语中没有这些语言上的相似之处。
阿拉伯语的一个有趣的特点是，当人们说出一系列事物时，比如某人早餐吃了什么，每个事物之间都会使用单词wa (and)。在英语中，and这个词只出现在列表的最后一项之前。与此相关的是我们在其他地方没有发现的报道;这是单词的潜在作用，并作为在说出的数字中出现的数字数量的标记。阿拉伯语在百位、个位数和十位之间使用wa这个词来表示大多数数字。因此，这个词标志着一个位值数字的名称的结束和下一个位值数字的开始。这可以帮助每个部分被分开思考，例如araba 'o - me 'ah wa thamaniah wa thalathon for 438 (?)。然而，从11 ()到19 ()的数字却不是这样，它们没有出现wa。这种分离的缺乏有助于将数字视为一个实体，而不是由两个可识别的独立数字组成。这可能是完全写10位数的情况增加了10倍的一个因素，例如科威特儿童写408 (?)而不是48 ()，写XX个数字而不是1X个数字。单词wa在三位数中也很重要，阿拉伯语中有两个包含XXX数字的wa，而英语中只有一个。同样，wa作为阿拉伯语中三个数字之间的标记。当一个三位数是XX0或X0X时，这些wa音中的一个就会丢失，而在英语中它是相同的。缺少额外的wa可能表明现在只涉及两位数字，而不是三位。这可以解释忽略零是科威特儿童的常见错误(例如504 (?)写成54 ())与英国儿童完全不发生的显着差异。
阿拉伯语言将20 ()和200 (?)与10和100的其他倍数区别对待，这可能会影响数字名称和符号之间建立的关联。300的名称(?)使用了3的名称(根)和100的名称(?)，例如，我们发现3100 ()出现在三位数中，除了我们使用的200数字259 (?)。对于200 (me ' atan)，在数字名称中使用“配对”形式的100 (me ' ah)，而不是明确地使用2的名称(见表1)。这导致与数字2(缌)后面跟着数字100 (?)没有那么强的联系。它更像是一个独立的实体，有200个(?)而不是2个(缌)100个(?)。因此，我们发现XXX数的100部分更应该写成200 (?)而不是2100 ()。我们还发现了与两位数之间的类似联系，其中twenty (ushroon)采用“配对”形式，其中没有two (ethan)的发音，因此与其他10的倍数相比，它更像是一个单一的实体。我们发现，将两位数字25 ()和26 ()写成205 (?)和206 (?)的错误率高于其他非二十位数的数字。这与Byrge等人(2014)的发现一致，即所听到的结构可以优先于书面形式中数字的传统位置。因此，孩子们写数字的方式在很大程度上受到数字名称语言的影响。
单词和符号之间的关联问题也存在于这样一个事实中，即100在阿拉伯语中被说成100而不是100。在英语中，这通常被说成一百或一百。在我们的研究中，对英国儿童来说，它是100，因此，1与1和100与00之间可能存在关联。科威特儿童的情况并非如此，他们可能将me 'ah(100)与100 (?)联系起来。我们发现科威特儿童更倾向于在百位数后写100 (?)，而英国儿童更倾向于在百位数后写00。这可以将这两种类型的错误联系在一起，Zuber等人(2009)分别将其标记为加性错误和乘法错误。
数字名称的语言确实会影响儿童产生的错误类型(Xenidou-Dervou et al.， 2015)。这些错误反映了儿童在通过数字名称和书面符号获得位值的适当含义方面遇到的困难。如果数字的语言是正则的，这意味着位值的基础数学结构出现在数字名称的语言中。由于语言对意义的发展是不可或缺的(Vygotsky, 1992)，这有助于儿童发展更有可能与位置值的数学结构相一致的意义。当这种意义被看到时，这种意义就被带到书写的符号中(见图7)。这导致单词和符号之间的紧密联系，这种联系是基于数学结构的。
图7
语言的意义是建立在数学结构的基础上的，以及它是如何帮助适当的数学意义被带入书面符号的
如果数字名称的语言不是基于潜在的数学结构，那么孩子们可以自发地发展概念，从而在单词和符号中产生不同的含义/联想，而这些不一定是相连的。此外，两者都不可能与底层的数学结构相关(图8)。
图8
单词中缺乏数学结构，使得孩子们在数字名称单词和书面符号中放置替代的，可能不同的含义/关联。这可能导致单词和符号之间的脱节，两者都不是特别基于底层的数学结构
随着时间的推移，孩子们确实倾向于整理出位置值，尽管数字名称的语言是不规则的。然而，并非所有的孩子都是如此，有些孩子在中学教育中对位置价值有严重的误解(Hewitt & Brown, 1998)。此外，对于那些数字名称的语言是常规的人来说，教育优势似乎会持续多年(Krinzinger et al.， 2011)。问题是，这是否只是作为一种文化现象而被接受，那些语言中数字名称不规范的人将在教育上处于劣势，或者是否可能有一种教学决定，通过临时使用一种更规则的改编语言来帮助学习位置值。皮亚杰(2000)在讨论维果茨基关于自发和科学概念的观点时，谈到了一种更有成效的教学形式，即学校“创造情境，虽然本身不是“自发的”，但却能唤起儿童自发的阐述”(第252页)。我们相信，在我们的分析中，孩子们确实会在他们的任务中带来自发的想法，这些想法是建立在他们到那时为止所获得的经验之上的。我们认为在教育上很重要的是，教学方法可能会被调整，这样那些教育经验可能会增加自发概念的发展，这些概念更符合数字以位置价值形式书写的方式。G?bel等人(2014)得出结论，“教学语言的结构是儿童数字发展的重要因素，不仅在基本的数字任务中，如转码和数量级比较，而且在更复杂的算术中也是如此”(第25页)。Magargee和Beauford(2016)已经表明，在早期数字教学中使用语言规则的教学决策是有益的。此外，Hayek等人(2019)发现，当数字按百、十、单位而不是传统的百、单位、十的顺序呈现时，儿童在阿拉伯语转码任务中的表现更好。更规则的适应性语言可以帮助学生对位值和数字的书写方式产生信心，然后，一旦获得信心，就可以逐渐转向使用自然语言中的不规则单词。另一种选择是使用不规则的自然语言，孩子们努力获得对位置值和书写数字值的正确感觉。这可能会继续影响他们未来学习涉及数字的数学。我们认为，前者值得认真考虑。我们的研究表明，对于英语，在学习数字的早期阶段可能会考虑:
连续使用-ty和one-ty, one-ty, one-ty，…表示10,11,12，…;二，三，五，二十，三十，五十。
这里的想法是减少多少数字必然是非自发的，因为它们是给符号的任意名称(Hewitt, 1999)。数字1到9需要被命名，并且必然是非自发的概念。然而，使用这些符号组合的语言，比如14，可以让孩子们发展自发的概念，这些概念更有可能与传统的说法和书写更大的数字的方式相一致。正如G?bel等人(2011)所述，“一个明确和规则的结构可能会导致对数字系统结构的更好和更早的理解”(第556页)。
对于科威特儿童，可考虑:
位置值的名称和数字的书写方向要一致。Ganayim和Dowker(2021)发现，当以百、十、单位顺序呈现三位数时，以阿拉伯语为母语的人在转码任务中表现得更好，而不是通常的百、十、单位顺序。Hayek et al.(2019)也发现了类似的结果。然而，我们觉得应该考虑一种古老的阿拉伯语说数字的方式，这种方式在文学学术圈中使用，他们按照单位的顺序发音，wa, ten, wa, hundred等，即使目前在这些圈子之外并不使用。这种单位的顺序，十和百的顺序更符合阿拉伯文本的阅读顺序，也确实在阿拉伯国家的一些古老的周期性戏剧中使用。话虽如此，特定的方向并不是主要问题，而是说的内容与写的内容的顺序是否匹配。
始终从右向左书写数字;这与上述建议是一致的。
我们注意到在阿拉伯语中使用的20 (ushroon)和200 (me 'atan)的成对形式有一个有趣的效果，在我们使用的百位数字后面写100 (?)的错误在我们使用的百位数字中没有发现，而在其他百位数字中却有。然而，我们也发现，与其他XX个非青少年数字相比，20位数的两位数有更多的错误(例如，将25 ()写成205 (?))。因此，我们认为可以做进一步的研究，以探索在教学上暂时决定在200和20中明确使用单词for two，而不是使用成对的形式，是否会有益。
在阿拉伯语中，通常在列表中的任意两个项目之间总是包含单词wa。所以，有四个项目，单词wa将被说三次。阿拉伯数字名称的情况与此完全一致。然而，我们发现，对于X0X和XX0数字，缺少第二个wa似乎导致孩子们只写两个数字。只有一个wa，所以只有两个项目。这个错误也出现在X0个数字中，虽然程度较轻，但只写了一个数字。因此，也许可以考虑包括对零的明确引用，以便孩子们仍然意识到涉及三个数字，其中一个是零。因此，对于408，这可以说是thamaniah wa la shai 'e [nothing] wa araba 'o - me 'ah，这与我们上面的第一个建议一致，表示数字从右向左。可以通过Gattegno Tens图表(Gattegno, 1974)直观地看到特定位值的存在或不存在，通过在图表上点击或突出显示特定数字的组成部分来表示(参见图9中的数字408)。这还支持在数字名称中使用规则，即每列一个数字词，每行一个值词。这可以补充实用材料的使用，这些材料将重点放在数字的基本感觉上(例如ladel&kortenkamp, 2016)。
图9
加泰诺十位数图的三行，显示数字408
我们建议，为了让孩子们学习位值结构，有必要让孩子们接触那些可能比他们已经获得基数感的数字高得多的数字。例如，位值的含义不能仅仅从数字1到20中获得。Nataraj和Thomas(2009)提出了一个问题，即“是否有可能通过让学生接触大数来提高他们对位置符号的理解”(第103页)。他们的研究表明，学生们在学习超出他们年龄的课程时反应良好。Zazkis(2001)发现，在代数背景下，使用大数字有助于迫使人们考虑结构，而不是急于计算。我们建议，让年幼的孩子接触更大的数字，以及在这些数字旁边说什么语言的教学选择，也可以迫使他们考虑支撑位置价值系统的结构。我们建议，只有在建立了这种结构之后，才能引入诸如11、12等数字的不规则例外。或者，在孩子们对大体结构有信心之前，可以避免使用十位数。这意味着这种教学方法将提高孩子们自发形成的概念与支撑数字书写的数学结构相一致的可能性(图10)。
图10
当数字名称词一致并反映符号的数学结构时，它们都支持儿童对底层结构的发展意义
总的来说，我们认为进一步研究在早期数字教学中临时使用常规语言将是一个富有成效的途径。我们建议有一个规则优先(建立底层结构)和例外在后的一般原则。这不仅指导了所使用的语言，而且还指导了可能处理数字的顺序。我们认为，数字的数学顺序(首先是最小的，然后逐渐增加到10，然后是20，然后是100)可能不是教孩子们数字名称结构和符号形式书写数字的最佳顺序。教学顺序可能与数学顺序不同。在对儿童在使用这些语言时所经历的特殊错误进行研究之后，正则化语言的教学原则也可以应用于其他有不规则数字命名的语言。
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